Analysis Beispiele

$\ln (y - 1) - \ln (2) = x + \ln (x)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2}) = x + \ln (x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (\frac{y - 1}{2}) - \ln (x) = x$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{y - 1}{2}}{x}) = x$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{y - 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = x$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{y - 1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$

Schritt 6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{y - 1}{2 x})} = e^{x}$

Schritt 7

Schreibe $\ln (\frac{y - 1}{2 x}) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \frac{y - 1}{2 x}$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$ um.

$\frac{y - 1}{2 x} = e^{x}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 x$ .

$\frac{y - 1}{2 x} (2 x) = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Vereinfache $\frac{y - 1}{2 x} (2 x)$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$2 \frac{y - 1}{2 (x)} x = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y - 1}{2 x} x = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{x} x = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = e^{x} (2 x)$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 1 = 2 e^{x} x$

Schritt 8.3.2.1.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x} x$ um.

$y - 1 = 2 x e^{x}$

Schritt 8.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 x e^{x} + 1$