Analysis Beispiele

$- π \sin (π x) = 0$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- π \sin (π x) = 0$ durch $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $0$ durch $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (0)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$π x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$π x = π - 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π x = π + 0$

Schritt 6.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$π x = π$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 6.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (π x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 7.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 n, 1 + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 1 n$ , für jede ganze Zahl $n$