Analysis Beispiele

$5 x - 10 \div x^{2} - 4 x + 4 + 1 \div (x - 2)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$5 x - \frac{10}{x^{2}} - 4 x + 4 + 1 \div (x - 2)$

Schritt 1.2

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$5 x - \frac{10}{x^{2}} - 4 x + 4 + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2

Subtrahiere $4 x$ von $5 x$ .

$x - \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 3

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x (x - 2)}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x (x - 2) + 1}{x - 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 1}{x - 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x^{2} + x \cdot - 2 + 1}{x - 2}$

Schritt 5.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x^{2} - 2 \cdot x + 1}{x - 2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 2}$

Schritt 5.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$- \frac{10}{x^{2}} + 4 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2}$

Schritt 6

Um $- \frac{10}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$- \frac{10}{x^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2} + 4$

Schritt 7

Um $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{10}{x^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + 4$

Schritt 8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{10}{x^{2}}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$- \frac{10 (x - 2)}{x^{2} (x - 2)} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + 4$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 2}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{10 (x - 2)}{x^{2} (x - 2)} + \frac{{(x - 1)}^{2} x^{2}}{(x - 2) x^{2}} + 4$

Schritt 8.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) x^{2}$ um.

$- \frac{10 (x - 2)}{x^{2} (x - 2)} + \frac{{(x - 1)}^{2} x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 10 (x - 2) + {(x - 1)}^{2} x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x - 10 \cdot - 2 + {(x - 1)}^{2} x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 2$ .

$\frac{- 10 x + 20 + {(x - 1)}^{2} x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.3

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{- 10 x + 20 + (x - 1) (x - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.4

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x + 20 + (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x + 20 + (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x + 20 + (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} - x - x + 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{- 10 x + 20 + (x^{2} - 2 x + 1) x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 x + 20 + x^{2} x^{2} - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7

Vereinfache.

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Schritt 10.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.7.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 10 x + 20 + x^{2 + 2} - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 10.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.7.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 10 x + 20 + x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 10.8

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20}{x^{2} (x - 2)} + 4$

Schritt 11

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x - 2) x^{2}}{(x - 2) x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20}{x^{2} (x - 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 2) x^{2}}{(x - 2) x^{2}}$

Schritt 12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.1

Kombiniere $4$ und $\frac{(x - 2) x^{2}}{(x - 2) x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20}{x^{2} (x - 2)} + \frac{4 ((x - 2) x^{2})}{(x - 2) x^{2}}$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) x^{2}$ um.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20}{x^{2} (x - 2)} + \frac{4 ((x - 2) x^{2})}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 ((x - 2) x^{2})}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + (4 x + 4 \cdot - 2) x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + (4 x - 8) x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 x \cdot x^{2} - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 (x^{2} x) - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 14.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 (x^{2} x^{1}) - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 x^{2 + 1} - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 + 4 x^{3} - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.5

Addiere $- 2 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} - 10 x + 20 - 8 x^{2}}{x^{2} (x - 2)}$

Schritt 14.6

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 20}{x^{2} (x - 2)}$