Analysis Beispiele

$\sin^{2} (0) + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + \sin^{2} (\frac{π}{8}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$0 + \sin^{2} (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$0 + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.3.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + {\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + {\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + {\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.3.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ an.

$0 + \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 - \sqrt{2}$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ als ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \sin^{2} (\frac{π}{4}) + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2^{1}}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.9.5

Berechne den Exponenten.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{2^{2}} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 (1)}{4} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{3 π}{8})$

Schritt 1.12

Der genau Wert von $\sin (\frac{3 π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.12.1

Schreibe $\frac{3 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \sin^{2} (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Schritt 1.12.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})}^{2}$

Schritt 1.12.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.12.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.12.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.12.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Schritt 1.12.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Schritt 1.12.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.12.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Schritt 1.12.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Schritt 1.13

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ an.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.14

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

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Schritt 1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 1.14.5

Vereinfache.

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$0 + \frac{2 - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 - \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Addiere $- \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 + 0}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.2

Dividiere $4$ durch $4$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 1}{2}$

Schritt 2.4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{2}$