Analysis Beispiele

$1 + {(- x^{- \frac{1}{3}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + {(- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} {(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere ${(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$1 + {(- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

Schritt 1.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ an.

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ an.

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 1 \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $\frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ mit $1$ .

$1 + \frac{{({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{{(16 - x^{\frac{2}{3}})}^{1}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache.

$1 + \frac{16 - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$1 + \frac{4^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.4

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$1 + \frac{4^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.6.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Schritt 1.1.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$1 + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + (4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Multipliziere $(4 + x^{\frac{1}{3}}) (4 - x^{\frac{1}{3}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 (4 - x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} (4 - x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot 4 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 4 (- x^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.5.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1 + 1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - 4 x^{\frac{1}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ und $4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 + 0 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.3

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} + 16 - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $x^{\frac{2}{3}}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{0 + 16}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $16$ .

$\frac{16}{x^{\frac{2}{3}}}$