Analysis Beispiele

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{3}{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.4.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.1.4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 1) \cdot 2$ um.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.5

Subtrahiere $3 x$ von $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 2.6.6

Subtrahiere $3$ von $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 8$ , $b = 9$ und $c = 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $480$ von $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 399$ als $- 1 (399)$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (399)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ um.

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (x + 1) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 10.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 10.2.1.2.1.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 10.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1)$

Schritt 13