Analysis Beispiele

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $u^{2} - 3 u + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 3.4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 2) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 2, 1$

Schritt 4

Setze $2$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 = e^{x}$

Schritt 5

Löse $2 = e^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2$ um.

$e^{x} = 2$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2)$

Schritt 6

Setze $1$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$1 = e^{x}$

Schritt 7

Löse $1 = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 1$ um.

$e^{x} = 1$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (1)$

Schritt 7.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (2), 0$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.61230978$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \ln (2)$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \ln (2)$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.35$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0.35$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.24344993$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \ln (2)$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \ln (2)$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $345.17218272$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \ln (2)$ Wahr

$x > \ln (2)$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \ln (2)$ Wahr

$x > \ln (2)$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \ln (2)$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < \ln (2)$

Intervallschreibweise:

$(0, \ln (2))$

Schritt 13