Analysis Beispiele

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $| 2 x - 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Schritt 5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x - 1 = - x + 2$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 + x = 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $2 x$ und $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2 + 1$

Schritt 6.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x = 3$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 1$

Schritt 6.5

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Schritt 6.6

Vereinfache $- (- x + 2)$ .

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Schritt 6.6.1

Forme um.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Schritt 6.6.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Schritt 6.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.6.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Schritt 6.7

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.7.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 - x = - 2$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Schritt 6.8

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.8.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 1$

Schritt 6.8.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$x = - 1$

Schritt 6.9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, - 1, 2$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 13.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $- 3.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 1$ oder $x > 2$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Intervallschreibweise:

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Schritt 16