Analysis Beispiele

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Schritt 1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

Schritt 2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ und $c = - y - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.4

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5

Es sei $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ . Ersetze $u$ für alle $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe ${(- 2 y - 6)}^{2}$ als $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ um.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.5.3.2

Addiere $12 y$ und $12 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $4$ aus $24 y$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.4.1

Multipliziere $y^{3}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.8.4.1.1

Bewege $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{3}$ .

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Schritt 5.8.4.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.4.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.4.2

Schreibe $- 1 y^{3}$ als $- y^{3}$ um.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.6

Multipliziere $- - y^{4}$ .

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Schritt 5.8.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.6.2

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.7

Multipliziere $- - y^{3}$ .

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Schritt 5.8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.8.7.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.9

Stelle die Terme um.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.10

Schreibe $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ als $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ um.

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Schritt 5.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.10.2

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Schritt 5.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$