Analysis Beispiele

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 1, x + 1, 6$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 3$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6$

Schritt 1.6

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.8

Das kgV von $x - 1, x + 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - 1) (x + 1)$

Schritt 1.9

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$6 (x - 1) (x + 1)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ mit $6 (x - 1) (x + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ mit $6 (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} (6 (x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 \frac{x + 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $6$ und $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (x + 1) (x + 1) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.4

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$6 ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.5

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$6 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 {(x + 1)}^{1 + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.9

Kombiniere $6$ und $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.2.1.10.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x - 1) (x + 1)$ heraus.

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 (x - 1) (x - 1) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.11

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.12

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{1 + 1} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.2.1.14

Addiere $1$ und $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 (x - 1) (x + 1)$ heraus.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 ((x - 1) (x + 1))$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(x - 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x (x + 1) - 1 (x + 1))$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot 1$ und $- 1 x$ neu an.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.3.1.2

Subtrahiere $1 x$ von $1 x$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1)$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} + 13 \cdot - 1$

Schritt 2.3.3.3.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} - 13$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $13 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$6 ((x + 1) (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$6 (x^{2} + x + x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$6 (x^{2} + 2 x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.6

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 ((x - 1) (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.7

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 2 x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.10

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.2.10.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 0 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $6 x^{2} + 6 + 6 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.4

Addiere $6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 6 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $13 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 + 6 = - 13$

Schritt 3.1.6

Addiere $6$ und $6$ .

$- x^{2} + 12 = - 13$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 13 - 12$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 13$ .

$- x^{2} = - 25$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 25$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 25$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 25$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$