Analysis Beispiele

$\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x - 1, 3 x - 2, 1$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5

Der Teiler von $3 x - 1$ ist $3 x - 1$ selbst.

$(3 x - 1) = 3 x - 1$

$(3 x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.6

Der Teiler von $3 x - 2$ ist $3 x - 2$ selbst.

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $3 x - 1, 3 x - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(3 x - 1) (3 x - 2)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ mit $(3 x - 1) (3 x - 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ mit $(3 x - 1) (3 x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (3 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.3.2

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere $3 x - 2$ aus $(3 x - 1) (3 x - 2)$ heraus.

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + x - 2 + (2 x + 1) (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.5

Multipliziere $(2 x + 1) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.5

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.1.6.2

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Addiere $3 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + x - 2 + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 2 - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multipliziere $(3 x - 1) (3 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x - 2) - 1 (3 x - 2))$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x - 2))$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x - 1 \cdot - 2)$

Schritt 2.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x + 2)$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 6 x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 9 x + 2)$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 1 \cdot 2$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 2$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Addiere $9 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} = 9 x - 2$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} - 9 x = - 2$

Schritt 3.1.3

Addiere $9 x^{2}$ und $9 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 2 x - 3 - 9 x = - 2$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $9 x$ von $2 x$ .

$18 x^{2} - 7 x - 3 = - 2$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} - 7 x - 3 + 2 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $- 3$ und $2$ .

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 18 \cdot - 1 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $- 7$ um als $2$ plus $- 9$

$18 x^{2} + (2 - 9) x - 1 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 x^{2} + 2 x - 9 x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(18 x^{2} + 2 x) - 9 x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (9 x + 1) - (9 x + 1) = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x + 1$ .

$(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.6

Setze $9 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $9 x + 1$ gleich $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $9 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = - 1$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = - 1$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{9}$

Schritt 3.7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{1}, 0.5$