Analysis Beispiele

$2 x^{4} - 9 x^{2} - 5 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 u$ heraus.

$2 u^{2} - 9 u - 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 9$ um als $1$ plus $- 10$

$2 u^{2} + (1 - 10) u - 5 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 1 u - 10 u - 5 = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$2 u^{2} + u - 10 u - 5 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + u) - 10 u - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 1) - 5 (2 u + 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 u + 1$ gleich $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 u + 1) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{2}, 5$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $- \frac{1}{2}$ als $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ um.

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Schritt 9.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Schritt 9.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.2.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 9.2.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 9.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 9.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.2.8

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 12

Die Lösung von $2 x^{4} - 9 x^{2} - 5 = 0$ ist $x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$