Analysis Beispiele

$1 - \ln (1 - x) > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$1 - \ln (1 - x) = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (1 - x) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (1 - x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (1 - x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (1 - x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (1 - x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\ln (1 - x)$ durch $1$ .

$\ln (1 - x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\ln (1 - x) = 1$

Schritt 2.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (1 - x)} = e^{1}$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (1 - x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 1 - x$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $1 - x = e^{1}$ um.

$1 - x = e$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = e - 1$

Schritt 2.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = e - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = e - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{e}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot e + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot e$ als $- e$ um.

$x = - e + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.3.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = - e + 1$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $1 - \ln (1 - x)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (1 - x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$1 - x > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x < 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - e + 1$

$- e + 1 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - e + 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - e + 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \ln (1 - (- 4)) > 0$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $- 0.60943791$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- e + 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- e + 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \ln (1 - (0)) > 0$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$1 - \ln (1 - (4)) > 0$

Schritt 5.3.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.3.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.3.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - e + 1$ Falsch

$- e + 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - e + 1$ Falsch

$- e + 1 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- e + 1 < x < 1$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- e + 1 < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(- e + 1, 1)$

Schritt 8