Analysis Beispiele

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

Schritt 2

Subtrahiere $700000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $4000 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 700000$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 2000 x + 350000$ durch $1$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2000$ und $c = 350000$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2000$ mit $2$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $350000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1400000$ von $4000000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $2600000$ als $200^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $40000$ aus $2600000$ heraus.

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $40000$ als $200^{2}$ um.

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ .

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $700000$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 196$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $196$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $707168$ ist größer als die rechte Seite $700000$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1809$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $1809$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $691038$ ist nicht größer als die rechte Seite $700000$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falsch

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Wahr

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falsch

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Falsch

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Wahr

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Intervallschreibweise:

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

Schritt 13