Analysis Beispiele

$6 x - x^{2} - x^{3} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$6 u - u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u$ aus $6 u - u^{2} - u^{3}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $6 u$ heraus.

$u \cdot 6 - u^{2} - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 6 + u (- u) - u^{3} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{3}$ heraus.

$u \cdot 6 + u (- u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 6 + u (- u)$ heraus.

$u \cdot (6 - u) + u (- u^{2}) = 0$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot (6 - u) + u (- u^{2})$ heraus.

$u (6 - u - u^{2}) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1.1

Stelle die Terme um.

$u (- u^{2} - u + 6) = 0$

Schritt 1.3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$u (- u^{2} - (u) + 6) = 0$

Schritt 1.3.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$u (- u^{2} + (2 - 3) u + 6) = 0$

Schritt 1.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u (- u^{2} + 2 u - 3 u + 6) = 0$

Schritt 1.3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$u ((- u^{2} + 2 u) - 3 u + 6) = 0$

Schritt 1.3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (u (- u + 2) + 3 (- u + 2)) = 0$

Schritt 1.3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 2$ .

$u ((- u + 2) (u + 3)) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$u (- u + 2) (u + 3) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (- x + 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $- x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $- x + 2$ gleich $0$ .

$- x + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $- x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (- x + 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 3$