Analysis Beispiele

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

Schritt 1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

Schritt 3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ und $3$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 1$ plus $- 8$

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 7

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 4$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $9$ ist kleiner als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $73$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $51$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, 4)$

Schritt 14