Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ um.

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Schritt 2.2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- x)$ heraus.

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (2 - x)}$ als ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1

Bewege $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $2 y$ an.

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.7

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.7.2

Stelle um.

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Schritt 4.2.1.7.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.7.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.2.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Schritt 5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3

Setze die Werte $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.1

Schreibe $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ als ${(4 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8 y^{2}$ und $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.3.1

Faktorisiere $4 y$ aus $8 y^{2} + 4 y$ heraus.

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Schritt 5.4.1.3.1.1

Faktorisiere $4 y$ aus $8 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.3.1.2

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.3.1.3

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y (2 y) + 4 y (1)$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere $4 y$ aus $8 y^{2} - 4 y$ heraus.

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Schritt 5.4.1.4.1

Faktorisiere $4 y$ aus $8 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.4.2

Faktorisiere $4 y$ aus $- 4 y$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.4.3

Faktorisiere $4 y$ aus $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.4.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.6

Schreibe $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ als ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ um.

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Schritt 5.4.1.6.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.6.2

Schreibe $4^{2} y^{2}$ als ${(4 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.6.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$