Analysis Beispiele

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Schritt 1

Subtrahiere $4 k$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $k$ aus $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $k$ aus $6 k^{3}$ heraus.

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $k$ aus $- 5 k^{2}$ heraus.

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $k$ aus $- 4 k$ heraus.

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $k$ aus $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ heraus.

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $k$ aus $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ heraus.

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 k$ heraus.

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Schritt 5

Setze $k$ gleich $0$ .

$k = 0$

Schritt 6

Setze $2 k + 1$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $2 k + 1$ gleich $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 k + 1 = 0$ nach $k$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 k = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 k = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 k = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Setze $3 k - 4$ gleich $0$ und löse nach $k$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze $3 k - 4$ gleich $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 k - 4 = 0$ nach $k$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 k = 4$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 4$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 k = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ wahr machen.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $k < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $k < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = - 3$

Schritt 10.1.2

Ersetze $k$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 207$ ist kleiner als die rechte Seite $- 12$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < k < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < k < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = - 0.25$

Schritt 10.2.2

Ersetze $k$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.40625$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < k < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < k < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = 1$

Schritt 10.3.2

Ersetze $k$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $k > \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $k > \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$k = 4$

Schritt 10.4.2

Ersetze $k$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $304$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $16$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$k < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falsch

$0 < k < \frac{4}{3}$ Wahr

$k > \frac{4}{3}$ Falsch

$k < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Falsch

$0 < k < \frac{4}{3}$ Wahr

$k > \frac{4}{3}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$k < - \frac{1}{2}$ oder $0 < k < \frac{4}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Schritt 13