Analysis Beispiele

$| x + 1 | - | x - 3 | > - 1$

Schritt 1

Ersetze $>$ durch $=$ in $| x + 1 | - | x - 3 | > - 1$ .

$| x + 1 | - | x - 3 | = - 1$

Schritt 2

Löse nach $| x - 3 |$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $| x + 1 |$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $| x - 3 |$ durch $1$ .

$| x - 3 | = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$| x - 3 | = 1 + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$| x - 3 | = 1 + \frac{| x + 1 |}{1}$

Schritt 2.2.3.1.3

Dividiere $| x + 1 |$ durch $1$ .

$| x - 3 | = 1 + | x + 1 |$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (1 + | x + 1 |)$

Schritt 4

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x - 3 = 1 + | x + 1 |$

$x - 3 = - (1 + | x + 1 |)$

Schritt 5

Löse $x - 3 = 1 + | x + 1 |$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Löse nach $| x + 1 |$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Schreibe die Gleichung als $1 + | x + 1 | = x - 3$ um.

$1 + | x + 1 | = x - 3$

Schritt 5.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $| x + 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$| x + 1 | = x - 3 - 1$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$| x + 1 | = x - 4$

Schritt 5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (x - 4)$

Schritt 5.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x + 1 = x - 4$

$x + 1 = - (x - 4)$

Schritt 5.4

Löse $x + 1 = x - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - x = - 4$

Schritt 5.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 + 1 = - 4$

Schritt 5.4.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 = - 4$

Schritt 5.4.2

Da $1 \neq - 4$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5.5

Löse $x + 1 = - (x - 4)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache $- (x - 4)$ .

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Schritt 5.5.1.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 - (x - 4)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x + 1 = - (x - 4)$

Schritt 5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = - x - - 4$

Schritt 5.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x + 1 = - x + 4$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + x = 4$

Schritt 5.5.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 = 4$

Schritt 5.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 4 - 1$

Schritt 5.5.3.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$2 x = 3$

Schritt 5.5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 5.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Löse $x - 3 = - (1 + | x + 1 |)$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Löse nach $| x + 1 |$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Schreibe die Gleichung als $- (1 + | x + 1 |) = x - 3$ um.

$- (1 + | x + 1 |) = x - 3$

Schritt 6.1.2

Vereinfache $- (1 + | x + 1 |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - | x + 1 | = x - 3$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - | x + 1 | = x - 3$

Schritt 6.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $| x + 1 |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- | x + 1 | = x - 3 + 1$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$- | x + 1 | = x - 2$

Schritt 6.1.4

Teile jeden Ausdruck in $- | x + 1 | = x - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- | x + 1 | = x - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- | x + 1 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| x + 1 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.1.4.2.2

Dividiere $| x + 1 |$ durch $1$ .

$| x + 1 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$| x + 1 | = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.1.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$| x + 1 | = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.1.4.3.1.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$| x + 1 | = - x + 2$

Schritt 6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (- x + 2)$

Schritt 6.3

Das Ergebnis besteht sowohl aus dem positiven wie dem negativen Anteil von $\pm$ .

$x + 1 = - x + 2$

$x + 1 = - (- x + 2)$

Schritt 6.4

Löse $x + 1 = - x + 2$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 + x = 2$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 1 = 2$

Schritt 6.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2 - 1$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 x = 1$

Schritt 6.4.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5

Löse $x + 1 = - (- x + 2)$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Vereinfache $- (- x + 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.1

Forme um.

$x + 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x + 1 = - (- x + 2)$

Schritt 6.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.5.1.4

Multipliziere $- - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + 1 = x - 1 \cdot 2$

Schritt 6.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 1 = x - 2$

Schritt 6.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - x = - 2$

Schritt 6.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 + 1 = - 2$

Schritt 6.5.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 = - 2$

Schritt 6.5.3

Da $1 \neq - 2$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (0) + 1 | - | (0) - 3 | > - 1$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (1) + 1 | - | (1) - 3 | > - 1$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| (4) + 1 | - | (4) - 3 | > - 1$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $4$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$x > \frac{3}{2}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ oder $x > \frac{3}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} or x > \frac{3}{2}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Schritt 12