Analysis Beispiele

$\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{3}$ und $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}$

Schritt 3

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{3}$ mit $\frac{x - 3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}$

Schritt 10

Schreibe $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ um.

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Schritt 10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}$

Schritt 10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}$

Schritt 11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}$