Analysis Beispiele

$243^{2 k} (9^{2 k - 1}) = 9$

Schritt 1

Schreibe $243$ als $3^{5}$ um.

${(3^{5})}^{2 k} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{5})}^{2 k}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 (2 k)} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$3^{10 k} \cdot 9^{2 k - 1} = 9$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3^{10 k} \cdot {(3^{2})}^{2 k - 1} = 9$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{2 k - 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{10 k} \cdot 3^{2 (2 k - 1)} = 9$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3^{10 k} \cdot 3^{2 (2 k) + 2 \cdot - 1} = 9$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3^{10 k} \cdot 3^{4 k + 2 \cdot - 1} = 9$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3^{10 k} \cdot 3^{4 k - 2} = 9$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{10 k + 4 k - 2} = 9$

Schritt 6

Addiere $10 k$ und $4 k$ .

$3^{14 k - 2} = 9$

Schritt 7

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{14 k - 2} = 3^{2}$

Schritt 8

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$14 k - 2 = 2$

Schritt 9

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 k = 2 + 2$

Schritt 9.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$14 k = 4$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $14 k = 4$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $14 k = 4$ durch $14$ .

$\frac{14 k}{14} = \frac{4}{14}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 k}{14} = \frac{4}{14}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $k$ durch $1$ .

$k = \frac{4}{14}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $14$ .

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Schritt 9.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$k = \frac{2 (2)}{14}$

Schritt 9.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$k = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 7}$

Schritt 9.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 7}$

Schritt 9.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$k = \frac{2}{7}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = \frac{2}{7}$

Dezimalform:

$k = 0.\overline{285714}$