Analysis Beispiele

cot (arccos (x))

$\cot (\arccos (x))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

(x, 0)

$(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist

arccos (x)

$\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch

(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist

cot (arccos (x))

$\cot (\arccos (x))$

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe

1

$1$ als

1^{2}

$1^{2}$ um.

\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = 1

$a = 1$ und

b = x

$b = x$ .

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 3

Mutltipliziere

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit

\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere

\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ mit

\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.2

Potenziere

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Schritt 4.3

Potenziere

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Schritt 4.6

Schreibe

{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als

(1 + x) (1 - x)

$(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 4.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{(1 + x) (1 - x)}

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als

{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Schritt 4.6.5

Vereinfache.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$