Analysis Beispiele

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 9

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 10.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $2$ aus $6 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ heraus.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ durch $1$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 12

Stelle die Faktoren von $3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ um.

$3 x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$