Analysis Beispiele

$\frac{x^{17} - 1}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{17} - 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{17} - 1] - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{17} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{17}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{17}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 17$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16} + 0) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $17 x^{16}$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) (17 x^{16}) - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $17$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$\frac{17 \cdot (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{17 (x - 1) x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(17 x + 17 \cdot - 1) x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 x \cdot x^{16} + 17 \cdot - 1 x^{16} - (x^{17} - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{17 x \cdot x^{16} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{16}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x^{16}$ .

$\frac{17 (x^{16} x) + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{16}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{17 (x^{16} x^{1}) + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{17 x^{16 + 1} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Addiere $16$ und $1$ .

$\frac{17 x^{17} + 17 \cdot - 1 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$\frac{17 x^{17} - 17 x^{16} - x^{17} - - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{17 x^{17} - 17 x^{16} - x^{17} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x^{17}$ von $17 x^{17}$ .

$\frac{16 x^{17} - 17 x^{16} + 1}{{(x - 1)}^{2}}$