Analysis Beispiele

$\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{2 x^{1.5}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{0.5}$ aus $x^{0.5} - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 - 2 x^{2} + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{0.5}$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + 5 x^{1.5}}{x^{1.5}}]$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{0.5}$ aus $5 x^{1.5}$ heraus.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x^{0.5}$ aus $x^{0.5} \cdot 1 + x^{0.5} (- 2 x^{1.5})$ heraus.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)}{x^{1.5}}]$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x^{0.5}$ aus $x^{0.5} \cdot (1 - 2 x^{1.5}) + x^{0.5} (5 x)$ heraus.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{0.5} (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{1.5}}]$

Schritt 2.2

Bringe $x^{0.5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5} x^{- 0.5}}]$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Multipliziere $x^{1.5}$ mit $x^{- 0.5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1.5 - 0.5}}]$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $0.5$ von $1.5$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x^{1}}]$

Schritt 3.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x^{1.5} + 5 x}{x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{1.5} + 5 x] - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x^{1.5} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{1.5}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1.5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $1.5$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [5 x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5 \cdot 1) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$

Schritt 5.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (- 3 x^{0.5} + 5) - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - (1 - 2 x^{1.5} + 5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 3 x^{0.5}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 3 x \cdot x^{0.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{0.5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.2.1

Bewege $x^{0.5}$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{0.5}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (x^{0.5} x^{1}) + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 x^{0.5 + 1} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.2.3

Addiere $0.5$ und $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + x \cdot 5 - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 \cdot x - 1 \cdot 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 - (- 2 x^{1.5}) - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - (5 x)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x^{1.5} + 5 x - 1 + 2 x^{1.5} - 5 x$ .

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5} + 0}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}$ und $0$ .

$\frac{- 3 x^{1.5} - 1 + 2 x^{1.5}}{2 x^{2}}$

Schritt 6.3.3

Addiere $- 3 x^{1.5}$ und $2 x^{1.5}$ .

$\frac{- 1 x^{1.5} - 1}{2 x^{2}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 x^{1.5}$ heraus.

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1}{2 x^{2}}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (1 x^{1.5}) - 1 (1)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (1 x^{1.5}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.7

Schreibe $- (1 x^{1.5} + 1)$ als $- 1 (1 x^{1.5} + 1)$ um.

$\frac{- 1 (1 x^{1.5} + 1)}{2 x^{2}}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $x^{1.5}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1.5} + 1}{2 x^{2}}$