Analysis Beispiele

${(e^{8 x - 1})}^{5}$

Schritt 1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{8 x - 1})}^{5}$ .

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Schritt 1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{(8 x - 1) \cdot 5}]$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \cdot 5 - 1 \cdot 5}]$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 1 \cdot 5}]$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 40 x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $40 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $40 x - 5$ .

$e^{40 x - 5} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $40 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$e^{40 x - 5} (\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.2

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{40 x - 5} (40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{40 x - 5} (40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $40$ mit $1$ .

$e^{40 x - 5} (40 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 3.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{40 x - 5} (40 + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $40$ und $0$ .

$e^{40 x - 5} \cdot 40$

Schritt 3.6.2

Bringe $40$ auf die linke Seite von $e^{40 x - 5}$ .

$40 e^{40 x - 5}$