Analysis Beispiele

$\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x} - 1 - x$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x] - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1 \cdot 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - (e^{x} - 1 - x) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 4.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Schritt 4.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x) x$ heraus.

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Schritt 4.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} - 1)$ heraus.

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) - 2 (e^{x} - 1 - x) x}{x^{4}}$

Schritt 4.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (e^{x} - 1 - x) x$ heraus.

$\frac{x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Schritt 4.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (e^{x} - 1)) + x (- 2 (e^{x} - 1 - x))$ heraus.

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x^{4}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (e^{x} - 1) - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 (e^{x} - 1 - x)}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x e^{x} + x \cdot - 1 - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x e^{x} - 1 \cdot x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} - 2 \cdot - 1 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 - 2 (- x)}{x^{3}}$

Schritt 6.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x e^{x} - x - 2 e^{x} + 2 + 2 x}{x^{3}}$

Schritt 6.3.2

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{x e^{x} + x - 2 e^{x} + 2}{x^{3}}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 6.5

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x} x + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$ um.

$\frac{x e^{x} + x + 2 - 2 e^{x}}{x^{3}}$