Analysis Beispiele

${(\frac{x + 6}{x - 6})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x + 6}{x - 6}$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{x - 6}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = x - 6$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x - 6$ mit $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2} \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $\frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(x - 6 - (x + 6)) \cdot 3}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Schritt 3.8.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 6 - (x + 6)$ .

$\frac{3 \cdot (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} {(\frac{x + 6}{x - 6})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x + 6}{x - 6}$ an.

$\frac{3 (x - 6 - (x + 6))}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x - 6 - x - 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 6 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 6)}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x + 3 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{3 x - 18 - 3 x - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.5

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{0 - 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Subtrahiere $18$ von $0$ .

$\frac{- 18 - 18}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Subtrahiere $18$ von $- 18$ .

$\frac{- 36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{36}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.9

Mutltipliziere $\frac{{(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$ mit $\frac{36}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Schritt 4.4.10

Multipliziere ${(x - 6)}^{2}$ mit ${(x - 6)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{2 + 2}}$

Schritt 4.4.10.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 36}{{(x - 6)}^{4}}$

Schritt 4.4.11

Bringe $36$ auf die linke Seite von ${(x + 6)}^{2}$ .

$- \frac{36 {(x + 6)}^{2}}{{(x - 6)}^{4}}$