Analysis Beispiele

$(4 x^{2} + 8 x) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} + 8 x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [8 x])$

Schritt 3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8 \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(4 x^{2} + 8 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 8)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 8$

Schritt 4.3.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 8 \cos (x)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{2} \sin (x) - 8 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 8 \cos (x)$