Analysis Beispiele

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 6$ und $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere ${(x + 2)}^{3}$ mit $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2}$ aus $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2}$ aus $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ heraus.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2}$ aus ${(x + 2)}^{3}$ heraus.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere ${(x + 2)}^{2}$ aus ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ heraus.

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Addiere $3 x$ und $x$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

Schritt 4.4.2

Addiere $- 18$ und $2$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

Schritt 4.5

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

Schritt 4.6

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Schritt 4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Schritt 4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Schritt 4.7.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Schritt 4.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

Schritt 4.7.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

Schritt 4.8

Multipliziere $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.2.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.9.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.3

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

Schritt 4.9.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 16$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

Schritt 4.10

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ .

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Schritt 4.10.1

Addiere $- 16 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

Schritt 4.10.2

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

Schritt 4.11

Addiere $- 64 x$ und $16 x$ .

$4 x^{3} - 48 x - 64$