Analysis Beispiele

$y = e^{u} (\cos (u) + c u)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ gleich $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ist mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = \cos (u) + c u$ .

$e^{u} \frac{d}{d u} [\cos (u) + c u] + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (u) + c u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]$ .

$e^{u} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$e^{u} (- \sin (u) + \frac{d}{d u} [c u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $c$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $c u$ nach $u$ gleich $c \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c \frac{d}{d u} [u]) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c \cdot 1) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} (- \sin (u) + c) + (\cos (u) + c u) e^{u}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + (\cos (u) + c u) e^{u}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{u} (- \sin (u)) + e^{u} c + \cos (u) e^{u} + c u e^{u}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$- e^{u} \sin (u) + e^{u} c + e^{u} \cos (u) + e^{u} c u$