Analysis Beispiele

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4} + 3 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 3 x$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ um.

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} + 3 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ heraus.

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Produktregel auf $x (x^{3} + 3)$ an.

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 4 x^{3} - 3$ mit $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.11

Schreibe $- (4 x^{3} + 3)$ als $- 1 (4 x^{3} + 3)$ um.

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$