Analysis Beispiele

${(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = x^{4} - \frac{7}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - \frac{7}{x}$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{4} - \frac{7}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - \frac{7}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}])$

Schritt 2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{x}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} - 7 (- x^{- 2}))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- 4 {(x^{4} - \frac{7}{x})}^{- 5} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 x^{- 2})$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + 7 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren von $- \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}} (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}})$ um.

$- (4 x^{3} + \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (4 x^{3}) - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(x^{4} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Um $x^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x}{x} - \frac{7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x - 7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.3.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4} x^{1} - 7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{4 + 1} - 7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{{(\frac{x^{5} - 7}{x})}^{5}}$

Schritt 3.7.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{5} - 7}{x}$ an.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4}{\frac{{(x^{5} - 7)}^{5}}{x^{5}}}$

Schritt 3.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 \frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) \frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}$ mit $\frac{4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} - \frac{7}{x^{2}}) (4 x^{5})}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Um $- 4 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(- 4 x^{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $- 4 x^{3}$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(\frac{- 4 x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{7}{x^{2}}) \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 4 x^{3} x^{2} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{\frac{- 4 (x^{2} x^{3}) - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- 4 x^{2 + 3} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.4.3

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}} \cdot 4 x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.11.5.1

Kombiniere $\frac{- 4 x^{5} - 7}{x^{2}}$ und $4$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}} x^{5}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.5.2

Kombiniere $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4}{x^{2}}$ und $x^{5}$ .

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}}{x^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.6.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{5}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2}}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.6.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3})}{x^{2} \cdot 1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{1}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.11.6.2

Dividiere $(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}$ durch $1$ .

$\frac{(- 4 x^{5} - 7) \cdot 4 x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $- 4 x^{5} - 7$ .

$\frac{4 \cdot (- 4 x^{5} - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 7) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.14

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{4 (- (4 x^{5}) - 1 (7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{5}) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{4 (- (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.16

Schreibe $- (4 x^{5} + 7)$ als $- 1 (4 x^{5} + 7)$ um.

$\frac{4 (- 1 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$

Schritt 3.18

Stelle die Faktoren in $- \frac{(4 (4 x^{5} + 7)) x^{3}}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$ um.

$- \frac{(4) x^{3} (4 x^{5} + 7)}{{(x^{5} - 7)}^{5}}$