Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - x - 6$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6] - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x - 3) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + 1 x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 7 x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3 + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $3$ und $6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 3.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1$