Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x - 1) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 4 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$