Analysis Beispiele

${(1 + x)}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (1 + x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \cot (x) \ln (1 + x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + x}$ und $\cot (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \cdot 1 + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{\cot (x)}{1 + x}$ mit $1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Schritt 6

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 7

Um $\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \frac{\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$

Schritt 9

Kombiniere $e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$ und $\frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) (1 + x))}{1 + x}$

Schritt 10.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) \cdot 1 - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Schritt 10.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Schritt 10.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x)) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Schritt 10.1.3

Vereinfache.

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Schritt 10.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Schritt 10.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x}{1 + x}$

Schritt 10.1.4

Stelle die Faktoren in $e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x$ um.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - x e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x)}{1 + x}$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \csc^{2} (x) \ln (1 + x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} x \csc^{2} (x) \ln (1 + x)}{x + 1}$