Analysis Beispiele

$\frac{1 - 3 x}{3 x}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1 - 3 x}{3 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 3 x$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot x - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{3 x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x - 1 \cdot 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 x - 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 x - 1 + 3 x}{3 x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 x - 1 + 3 x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{0 - 1}{3 x^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{3 x^{2}}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3 x^{2}}$