Analysis Beispiele

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 6 x$ und $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.7.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $3 e^{3 x}$ von $- 6 e^{3 x}$ .

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $18 e^{3 x} x$ heraus.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $- 9 e^{3 x}$ heraus.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $9 e^{3 x}$ aus $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ heraus.

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 x}$ und $e^{6 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ heraus.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

Schritt 5.6.2.4

Dividiere $9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ durch $1$ .

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Schritt 5.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Schritt 5.11

Stelle die Faktoren in $18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ um.

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$