Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 12 x + 9$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $3, 1$ .

$3, 1$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f' (0) = 9$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 5.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 12$ und $9$ .

$f' (2) = - 3$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(1, 3)$ ab.

Abfallend im Intervall $(1, 3)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$f' (4) = 9$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $9$ .

$9$

Schritt 7.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $9$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(1, 3)$

Schritt 9