Analysis Beispiele

${(1 - \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - \cos (x)$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$