Analysis Beispiele

$(2 + 5 x) (5 - 4 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 + 5 x$ und $g (x) = 5 - 4 x$ .

$(2 + 5 x) \frac{d}{d x} [5 - 4 x] + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$(2 + 5 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$(2 + 5 x) \frac{d}{d x} [- 4 x] + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 + 5 x) (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 + 5 x) (- 4 \cdot 1) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$(2 + 5 x) \cdot - 4 + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $2 + 5 x$ .

$- 4 \cdot (2 + 5 x) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 + 5 x]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$- 4 (2 + 5 x) + (5 - 4 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 (2 + 5 x) + (5 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$- 4 (2 + 5 x) + (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 2.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 + 5 x) + (5 - 4 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $5 - 4 x$ .

$- 4 (2 + 5 x) + 5 \cdot (5 - 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (2 + 5 x) + 5 (5 - 4 x) \cdot 1$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 4 (2 + 5 x) + 5 (5 - 4 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot 2 - 4 (5 x) + 5 (5 - 4 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \cdot 2 - 4 (5 x) + 5 \cdot 5 + 5 (- 4 x)$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$- 8 - 4 (5 x) + 5 \cdot 5 + 5 (- 4 x)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$- 8 - 20 x + 5 \cdot 5 + 5 (- 4 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- 8 - 20 x + 25 + 5 (- 4 x)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$- 8 - 20 x + 25 - 20 x$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 8$ und $25$ .

$- 20 x + 17 - 20 x$

Schritt 3.3.6

Subtrahiere $20 x$ von $- 20 x$ .

$- 40 x + 17$