Analysis Beispiele

$(2 x + 1) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x + 1$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} (2 + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(2 x + 1) e^{x} + e^{x} \cdot 2$

Schritt 3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$(2 x + 1) e^{x} + 2 \cdot e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x e^{x} + 1 e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$2 x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 4.2.2

Addiere $e^{x}$ und $2 e^{x}$ .

$2 x e^{x} + 3 e^{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$2 e^{x} x + 3 e^{x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $2 e^{x} x + 3 e^{x}$ um.

$2 x e^{x} + 3 e^{x}$