Analysis Beispiele

$(3 x^{2} - 3 x + 7) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 7$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3 x + 7]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 3 x + 7]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 3 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3 + 0)$

Schritt 3.9

Addiere $6 x - 3$ und $0$ .

$(3 x^{2} - 3 x + 7) (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- \sin (x)) - 3 x (- \sin (x)) + 7 (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x - 3)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} (- \sin (x)) - 3 x (- \sin (x)) + 7 (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x) + \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{2} \sin (x) - 3 x (- \sin (x)) + 7 (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x) + \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) + 7 (- \sin (x)) + \cos (x) (6 x) + \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 3 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) - 7 \sin (x) + \cos (x) (6 x) + \cos (x) \cdot - 3$

Schritt 4.3.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- 3 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) - 7 \sin (x) + \cos (x) (6 x) - 3 \cos (x)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) + 6 x \cos (x) - 7 \sin (x) - 3 \cos (x)$