Analysis Beispiele

$(3 x + 1) (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x + 1$ und $g (x) = 5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 6 x + 3] + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 6 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(3 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(3 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + 0) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.9

Addiere $10 x - 6$ und $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + 0)$

Schritt 2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.1

Addiere $3$ und $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \cdot 3$

Schritt 2.15.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 \cdot (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 1) (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$30 x \cdot x + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$30 (x^{1} x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$30 (x^{1} x^{1}) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 x^{1 + 1} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$30 x^{2} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$30 x^{2} + 10 x + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.9

Subtrahiere $18 x$ von $10 x$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.11

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 3$

Schritt 3.5.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 9$

Schritt 3.5.13

Addiere $30 x^{2}$ und $15 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 8 x - 6 - 18 x + 9$

Schritt 3.5.14

Subtrahiere $18 x$ von $- 8 x$ .

$45 x^{2} - 26 x - 6 + 9$

Schritt 3.5.15

Addiere $- 6$ und $9$ .

$45 x^{2} - 26 x + 3$