Analysis Beispiele

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} \sec (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.2

Multipliziere $3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.4

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.5

Kombinieren.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.6.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Schritt 4.4.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.4.8

Multipliziere $6 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.4.8.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.4.8.2

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.4.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.2

Separiere Brüche.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4

Kombiniere $\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.5

Separiere Brüche.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.6

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.7

Schreibe $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.8

Vereinfache.

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Schritt 4.5.8.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.8.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.9

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.6

Stelle die Faktoren in $3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ um.

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$