Analysis Beispiele

$(3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x^{3} + 1$ und $g (x) = {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ .

$(3 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} - 3)}^{4}] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = - 4 x^{2} - 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 x^{2} - 3$ .

$(3 x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$(3 x^{3} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x^{2} - 3$ .

$(3 x^{3} + 1) (4 {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $3 x^{3} + 1$ .

$4 \cdot (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + 0) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + 0)$

Schritt 3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.13.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2})$

Schritt 3.13.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von ${(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 \cdot {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 32 (3 x^{3}) - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 32$ .

$(- 96 x^{3} - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

Schritt 4.4

Faktorisiere ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ aus $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ aus $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ heraus.

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ aus $9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ heraus.

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ aus ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ heraus.

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren von ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ um.

$x {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$