Analysis Beispiele

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x + 1$ und $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 1 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4 x + 1$ .

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

Schritt 3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.14.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

Schritt 3.14.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{3}$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

Schritt 4.4

Faktorisiere ${(1 - x)}^{2}$ aus $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere ${(1 - x)}^{2}$ aus $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ heraus.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere ${(1 - x)}^{2}$ aus $4 {(1 - x)}^{3}$ heraus.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere ${(1 - x)}^{2}$ aus ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ heraus.

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.5

Schreibe ${(1 - x)}^{2}$ als $(1 - x) (1 - x)$ um.

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.6

Multipliziere $(1 - x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

Schritt 4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

Schritt 4.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

Schritt 4.9

Subtrahiere $4 x$ von $- 12 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

Schritt 4.10

Addiere $- 3$ und $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

Schritt 4.11

Multipliziere $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $- 16 x$ mit $1$ .

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.4.1

Bewege $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 16$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.12.8.1

Bewege $x$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.12.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

Schritt 4.12.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

Schritt 4.13

Subtrahiere $2 x$ von $- 16 x$ .

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

Schritt 4.14

Addiere $32 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$