Analysis Beispiele

$\tan^{2} (3 x) - \tan^{2} (3 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan^{2} (3 x) - \tan^{2} (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 \tan (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan^{2} (3 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\tan (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\tan (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $3 x$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 x$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3))$

Schritt 3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x)))$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$

Schritt 4

Subtrahiere $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ von $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

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