Analysis Beispiele

$\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$ .

$50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 0.01 x^{2} + 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $0.01 x^{2} + 1$ mit $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.01 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $0.01$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.01 x^{2}$ nach $x$ gleich $0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $0.01$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + 0)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $0.02 x$ und $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $0.02$ mit $- 1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x \cdot x}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x^{1})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{1 + 1}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{2}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 8

Subtrahiere $0.02 x^{2}$ von $0.01 x^{2}$ .

$50 \frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $50$ und $\frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{50 (- 0.01 x^{2} + 1)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{50 (- 0.01 x^{2}) + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 0.01$ mit $50$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $0.5$ aus $- 0.5 x^{2} + 50$ heraus.

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $0.5$ aus $- 0.5 x^{2}$ heraus.

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3.1.2

Faktorisiere $0.5$ aus $50$ heraus.

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3.1.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)$ heraus.

$\frac{0.5 (- x^{2} + 100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{0.5 (- x^{2} + 10^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3.3

Stelle $- x^{2}$ und $10^{2}$ um.

$\frac{0.5 (10^{2} - x^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10$ und $b = x$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 x^{2} + 1$ heraus.

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Schritt 10.4.1.1

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 x^{2}$ heraus.

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Schritt 10.4.1.2

Faktorisiere $0.01$ aus $1$ heraus.

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100)}^{2}}$

Schritt 10.4.1.3

Faktorisiere $0.01$ aus $0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100$ heraus.

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2} + 100))}^{2}}$

Schritt 10.4.2

Wende die Produktregel auf $0.01 (x^{2} + 100)$ an.

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{0.01}^{2} {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 10.4.3

Potenziere $0.01$ mit $2$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (10 + x) (10 - x)$ heraus.

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $0.0001$ aus $0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}$ heraus.

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 ({(x^{2} + 100)}^{2})}$

Schritt 10.7

Separiere Brüche.

$\frac{0.5}{0.0001} \cdot \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 10.8

Dividiere $0.5$ durch $0.0001$ .

$5000 \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 10.9

Kombiniere $5000$ und $\frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$