Analysis Beispiele

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ und $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \ln (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{3}{x}$ und $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{3}}{9}$ mit $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 4.4

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Schritt 4.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 4.6.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Schritt 4.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 5

Um $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6

Kombiniere $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 8

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Schritt 9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Schritt 10.2.1.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Schritt 10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Addiere $\ln (x^{3}) x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Schritt 10.2.3

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{3}) x^{2}$ um.

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Schritt 10.3

Zerlege $\ln (x^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Schritt 10.4.2

Dividiere $x^{2} (\ln (x))$ durch $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$